اعداد اول و کاربرد آن

اعداد اول

عدد اول عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که بر هیچ عدد مثبتی بجز خود و ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.
رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.
پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹ [۱]

اعداد اول Mersenne برای اولین بار توسط اقلیدس در ۳۵۰ سال قبل از میلاد معرفی شدند. این اعداد در واقع به عنوان مرکز انشعاب ریاضیاتی که امروزه به عنوان تئوری اعداد شناخته می شوند، پذیرفته شده اند. ۱۷ قرن پس از اقلیدس یک راهب فرانسوی برای اولین بار حدس زد که اعداد اول را می توان به صورت (۱-۲P) نوشت، طوری که خود P یک عدد اول باشد، پس از آن زمان این اعداد دوباره شهرت خاصی پیدا کردند. عددهای اول بلوک های سازنده تمام اعداد مثبت هستند

کاربرد اعداد اول

می دانیم که هر عدد بزرگتر از یک که جز بر خود و یک،بر عدد دیگری بخش پذیر نباشد عددی اول است. اما درباره نحوه ی پراکندگی این اعداد در بین اعداد حقیقی هیچ رابطه یا نظم خاصی وجود ندارد...تا اینکه اعلام شد اثباتی برای این فرضیه(توزیع
تصادفی اعداد اول) که توسط ریمان برای نخستین بار مطرح شده به دست آمده است،این مسئله نه تنها برای ریاضیدانان بلکه برای مهندسان و طراحان نرم افزارهای مهندسی بسیار مهم و حیاتی است،چرا که یکی از کاربردهای اصلی اعداد اول در مسائل امنیتی و ایمنی ارتباطات رایانه ای و به ویژه شبکه های مبادلاتی الکترونیک است.
اگر اثبات نظریه ریمان به تایید برسد،بیش از هر کس دیگر این برنامه نویسان و طراحان امنیت تجارت الکترونیک و رمزنگاران رایانه ای هستند که خوشحال خواهند شد؛هم اکنون یکی از معدود مسائلی که درآمد اقتصادی قابل توجهی برای ریاضیدانان دارد،کشف همین اعداد اول بسیار بزرگ است؛این که چرا این اعداد اهمیت ویژه ای دارند،به توزیع تصادفی آنها برمی گردد.فرض کنید شما یک عدد اول بسیار بزرگ دارید و از آن به عنوان یک کد یا یک امضای الکترونیک استفاده کنید و از عدد غول پیکر اول دیگری به عنوان پاسخ امضا یا تاییدیه کد.
 
یافتن اعداد اول فوق العاده بزرگ چه فایده ای دارد؟

اهمیت یافتن این اعداد در کاربرد آنان و افزایش کارآئی و اثربخشی بهتر سیستم های رمزنگاری یا (Cryptography) خواهد بود. در واقع، هدف اصلی این تحقیقات دستیابی به روشی غیرقابل نفوذ و قابل اطمینان از سیستم های رمزنگاری میباشد. اعداد اول در بحث ریاضیات و رمزنگاری از اهمیت بسزائی برخوردار می‌باشند اما دستاوردهای مهمتر، این گونه به دست خواهند آمد که دریابیم مسائل و مشکلات بزرگتر را میتوان با روشهای مشابه حل کرد
 
اهمیت یافتن این اعداد در کاربرد آنان و افزایش کارائی و اثربخشی بهتر سیستم‌‌های رمزنگاری (Cryptography) میباشد.

کشف این دو عدد در جریان پروژه Great Internet Mersenne Prime Search که دوازده سال از عمر آن می‌گذرد اتفاق افتاد. بزرگ‌ترین عدد اول که یک عدد 12978189 رقمی می‌باشد توسط تیمی از دانشگاه کالیفرنیا (UCLA) بدست آمد و عدد دوم که به دست یک کاربر آلمانی کشف گردید عددی 11185272

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان 57میلیون و 885هزار و 161منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است. گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی می‌باشد که در زمینه‌های مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت می‌کند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.
مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

/ 0 نظر / 5 بازدید